Denne artikkelen er produsert og finansiert av Universitetet i Oslo - les mer.
Hvor usannsynlig er det usannsynlige?
Det er mulig å lage en modell av finanssystemet og aksjehandel som forklarer hvordan og hvorfor markedet svinger. Likevel kan vi ikke forutse et børskrakk.
Det er mulig å lage en modell av terningkast med sannsynligheten for ulike utfall. Men vil en slik modell inneholde sannsynligheten for at en terning triller ned fra bordet og blir borte?(Illustrasjonsbildet: Riho Kroll / Unsplash)
Fra børskrakk til oppvarming av metall. Det finnes mange matematiske modeller.
Modellen skal forklare virkeligheten, men er egentlig alt med?
Når matematiske modeller skal beskrive virkeligheten tar de gjerne med usikkerheter og tilfeldige hendelser.
Men det kan være vanskelig å vite om modellen egentlig har fått med seg alt, særlig sjeldne hendelser.
Dette problemet er matematisk interessant, mener forsker Daniel Heydecker, ved Universitetet i Oslo.
Feil skjer, og de skjer alltid på den mest sannsynlige måten
Som matematiker er han interessert i modeller som skal beskrive virkeligheten, helst så presist som mulig.
– Hvis du har et mekanisk system, så vil en feil skje på den minst usannsynlige måten, forklarer han.
Det betyr at den mest sannsynlige feilen, er den som vil inntreffe.
– Men det vanskelige er å sette et mål på den usannsynligheten. Og hvordan vet vi at vi har fått med alt?
– Problemet med usannsynlige hendelser er alt vi ikke har forestilt oss.
– Store systemer er forutsigbare, selv om de er bygget opp av deler som hver for seg er veldig tilfeldig styrt, sier matematiker Daniel Heydecker.(Foto: Elina Melteig)
Det skjer noe rart når vi går fra stort til smått
En annen utfordring med modeller ligger i skalerbarheten.
Skalerbarhet er et systems evne til å håndtere økt arbeidsmengde eller vekst uten at det går ut over ytelsen.
Heydecker forteller at små systemer, som atomer eller en klynge med atomer, er mer kaotiske.
Se for deg et glass med vann. Så drypper du en dråpe blekk i vannglasset. Selv om hvert molekyl oppfører seg kaotisk, vil hele systemet oppføre seg forutsigbart.
Blekkdråpen vil bre seg ut, til det er en jevn svakt blå løsning. Ved å lage en modell av hvert blekkmolekyl er det likevel vanskelig å forutse.
– Store systemer er forutsigbare, selv om de er bygget opp av deler som hver for seg er veldig tilfeldig styrt, sier Heydecker.
Annonse
Spørsmålet handler om å forstå hvordan vi kan gå fra tilfeldigheter i småskala til forutsigbare store systemer. Hvordan kan blekk-molekyler som svirrer tilfeldig rundt likevel bli til en dråpe som sprer seg jevnt ut i glasset til slutt?
Hvor vanlig er usannsynlige hendelser?
– Det handler om å forstå hva slags usannsynlige hendelser som er mulig på grunn av den samlede effekten av tilfeldigheter fra hvert molekyl. Dét er det ingen som har et godt svar på i dag, sier han.
Målet hans er å finne et mål på hvor vanlig usannsynlige hendelser er. Da må han forstå denne sammenhengen.
– Vi kan modellere et børskrakk, en mekanisk svikt eller sjeldne hendelser i maskinlæring. Problemet er at vi bare kan beskrive noen typer usannsynlige hendelser, sier Heydecker.
– Vi vet allerede om modeller som ikke beskriver alt som skjer, og vi har modeller som vi vet at gjør det, legger han til.
Forskjellen mellom disse modellene vil han bruke til å finne egenskaper ved modellen som kan avsløre om alle utfall er med.
Varmer opp en metallstang for å forstå sannsynligheter
For å finne et system å undersøke trenger Heydecker et godt utforsket problem:
– Varmeledning i metall ble beskrevet allerede på Napoleons tid. Hvordan varme forplanter seg, er godt kjent i store systemer. Likevel er det vanskelig å forstå hva som skjer i småskala. Dette er et aktivt forskningsfelt, forklarer han.
Heydecker skal se på forskjellen mellom sannsynlighet for hendelser i hele systemet, sammenliknet med enkeltdeler.
Er det som skjer i systemet, altså metallstangen, mer forutsigbart enn det som skjer med enkeltbestanddelene? I så fall, hvorfor?
Annonse
Usikkerhet er spennende for matematikere
Heydecker synes usikkerheter er svært interessant for matematikere, men understreker at svarene de finner er relevante innenfor mange fagfelt.
Noen eksempler er mekanisk svikt, klimamodeller eller i KI-modeller.
– Jeg ønsker å finne en presis matematisk analyse av det som skjer i en ekte verden, ved å forstå sjeldne hendelser. Målet er å finne matematiske verktøy som kan testes i en fysisk verden.
Fordi usannsynlige hendelser kan skje.
– Det kan være usannsynlige utfall som er mer vanlige enn vi hadde trodd. Eller modellen kan vise oss at noen ting er mer sannsynlig, enn det de er i virkeligheten.
Dette må vi forstå for å kunne lage bedre modeller, slår matematikeren fast.
